דלתא כהסתברות - מה המספר באמת אומר

כמעט כל מי שמוכר אופציות משתמש באותו כלל אצבע: "דלתא 20 אומרת שיש בערך 20% סיכוי שהאופציה תפקע בתוך הכסף."

ככה הרבה סוחרים בוחרים באיזה מחיר למכור, וככה הם מעריכים כמה סיכון הם לוקחים.

בדקנו אם הכלל הזה נכון, על 13 וחצי שנים של נתונים אמיתיים. התשובה הפתיעה גם אותנו.

(למי שרוצה את כל הטבלאות: המחקר המלא. ולמי שרוצה להבין לעומק מה זו דלתא: המדריך המלא לדלתא.)

לפני שמתחילים: ארבעה מושגים בשתי דקות

אם המושגים האלה מוכרים לכם, אפשר לדלג לפרק הבא.

מדד S&P 500 (ובקיצור SPX). מדד של 500 החברות הגדולות בארצות הברית. כל הבדיקה במאמר נעשתה על אופציות על המדד הזה.

מחיר מימוש. המחיר שכתוב על האופציה. נניח שהמדד עומד היום על 7,000 נקודות, ומישהו מוכר פוט במחיר מימוש 6,650. המשמעות: אם המדד יירד מתחת ל-6,650, מוכר הפוט מתחיל לאבד כסף מהפרמיה שקיבל.

פקיעה. היום שבו האופציה נגמרת. כל האופציות במאמר נמכרו 45 יום לפני הפקיעה, ונשארו פתוחות עד הסוף.

"בתוך הכסף" ו"מחוץ לכסף". זה מה שבודקים ביום הפקיעה:

• פוט פוקע בתוך הכסף אם המדד נסגר מתחת למחיר המימוש. אחרת הוא פוקע מחוץ לכסף.
• קול פוקע בתוך הכסף אם המדד נסגר מעל מחיר המימוש. אחרת הוא פוקע מחוץ לכסף.

למוכר האופציה, "מחוץ לכסף" היא התוצאה הטובה: האופציה פוקעת בלי ערך, והוא שומר את כל הכסף שקיבל עליה (הפרמיה). "בתוך הכסף" אומר שהמחיר הגיע אליו, ומשם הוא מתחיל לאבד חלק מהפרמיה - ולפעמים הרבה יותר ממנה.

ומה זו דלתא?

דלתא היא מספר בין 0 ל-100 שמופיע ליד כל אופציה במסך המסחר.

המשמעות הבסיסית שלה: בכמה סנטים זז מחיר האופציה כשהמדד זז בנקודה אחת. אופציה בדלתא 20 זזה בערך 20 סנט על כל נקודה של המדד.

אבל רוב מוכרי האופציות משתמשים בה למשהו אחר - כהערכה לסיכוי שהאופציה תפקע בתוך הכסף:

• דלתא 50 - האופציה קרובה מאוד למחיר של היום. בערך חצי-חצי.
• דלתא 20 - האופציה רחוקה יותר. בערך 20% סיכוי שהמדד יגיע אליה.
• דלתא 10 - רחוקה מאוד. בערך 10%.

זה נוח מאוד: במקום לחשב, מסתכלים על מספר אחד. והשאלה שבדקנו היא האם הסיכוי הזה נכון בפועל.

למה בכלל חושבים שדלתא היא הסתברות

כדי להבין את זה צריך להכיר את מודל Black-Scholes (בלאק-שולס). זו הנוסחה שכמעט כל מסך מסחר בעולם משתמש בה כדי לחשב את המחיר ה"הוגן" של אופציה ואת הדלתא שלה. מכניסים לה את מחיר המדד, מחיר המימוש, כמה ימים נשארו, הריבית, וכמה השוק צפוי לזוז (התנודתיות) - והיא מחזירה מספרים.

בתוך הנוסחה יש שני מספרים שחשובים לנו. בספרות קוראים להם ⁦N(d1)⁩ ו-⁦N(d2)⁩. לא צריך לדעת לחשב אותם - רק להבין מה כל אחד אומר:

• ⁦N(d1)⁩ היא הדלתא של קול. המספר שמופיע במסך.
• ⁦N(d2)⁩ היא ההסתברות שהקול יפקע בתוך הכסף, לפי אותו מודל בדיוק.

באופציות לטווח של כמה שבועות, שני המספרים האלה קרובים מאוד זה לזה. למשל, דלתא 20 ולצידה הסתברות של 19 או 22 אחוז. לכן סוחרים לא טורחים לחשב את השני - הם מסתכלים על הראשון, שכבר מופיע במסך, ומתייחסים אליו כאל הסיכוי.

כבר כאן יש שני דברים שכדאי לשים לב אליהם:

1. הדלתא היא לא ההסתברות, גם לפי המודל עצמו. היא רק קרובה אליה. בפוט, ההסתברות שהמודל נותן יוצאת קצת גבוהה מהדלתא. בקול - קצת נמוכה ממנה. נחזור לזה בהמשך, כי המציאות הלכה בדיוק לכיוון ההפוך.

2. המודל מניח שלשוק אין כיוון מועדף. הוא מתמחר אופציות כאילו המדד לא נוטה לעלות וגם לא לרדת (מלבד השפעה קטנה של הריבית). זו לא טעות בנוסחה - ככה מתמחרים אופציות בצורה הוגנת לשני הצדדים. אבל בשוק האמיתי, למדד כן יש נטייה.

הנקודה השנייה היא בדיוק מה שבדקנו.

מה בדקנו

לקחנו את מדד S&P 500 מפברואר 2013 עד ספטמבר 2026. כמעט בכל שבוע, באותה שעה בבוקר:

1. מכרנו פוט וקול, שניהם באותה דלתא, ל-45 יום.
2. לא נגענו בהם עד יום הפקיעה - לא סגרנו ברווח ולא עצרנו הפסד.
3. ביום הפקיעה בדקנו: האם כל אחת מהאופציות פקעה בתוך הכסף?

עשינו את זה חמש פעמים, בחמש דלתאות שונות: 10, 20, 30, 40 ו-50. בכל פעם 694 עסקאות, כלומר 6,940 אופציות בסך הכול. את הבדיקות הרצנו בתוכנה בשם Option Omega, שמשתמשת במחירים אמיתיים שנסחרו בשוק.

מה יצא

איך לקרוא את הטבלה: קחו את השורה של דלתא 20. לפי כלל האצבע, בערך 20% מהפוטים ו-20% מהקולים היו אמורים לפקוע בתוך הכסף. בפועל:

• מתוך כל 100 פוטים, רק כ-8 או 9 פקעו בתוך הכסף. הרבה פחות מ-20.
• מתוך כל 100 קולים, 34 פקעו בתוך הכסף. הרבה יותר מ-20.

ואותו דבר חוזר בכל שורה. בכל חמש הדלתאות, הפוטים "נבדקו" הרבה פחות ממה שהדלתא אמרה, והקולים הרבה יותר.

זה לא מקרה ולא רעש סטטיסטי: 694 עסקאות בכל תא, והכיוון זהה בכל השורות.

למה זה קרה: המטבע היה עקום

הנה הדרך הכי פשוטה להבין את זה.

הדלתא מחושבת כאילו השוק הוא מטבע הוגן - אותו סיכוי שהוא יעלה או ירד. בעולם כזה, פוט בדלתא 20 וקול בדלתא 20 באמת מסוכנים אותו דבר: אחד "נבדק" כשהשוק יורד, והשני כשהוא עולה.

אבל בשנים האלה המטבע היה עקום. מדד S&P 500 עלה פי 5. והשורה האחרונה בטבלה מראה את זה הכי טוב:

קול בדלתא 50 נמצא כמעט בדיוק במחיר של היום. אז "הקול פקע בתוך הכסף" זה בערך אותו דבר כמו "המדד היה גבוה יותר אחרי 45 יום". וזה קרה ב-70.6% מהפעמים - כמעט 7 מכל 10.

כשהשוק עולה 7 פעמים מתוך 10, הוא דוחף את הקולים לתוך הכסף ומרחיק את הפוטים ממנו. בכל דלתא.

ההוכחה: כשמחברים את שני הצדדים, הדלתא צודקת

זה הממצא הכי מעניין במחקר.

אם ההסבר נכון - שהדלתא טועה רק בכיוון ולא בגודל - אז כשלוקחים את הממוצע של הפוט והקול, הטעויות אמורות להתקזז. והן מתקזזות:

הממוצע כמעט זהה לדלתא, בכל השורות.

כלומר הדלתא העריכה נכון כמה רחוק המדד עלול לזוז תוך 45 יום. מה שהיא לא יודעת זה לאיזה כיוון. וזה בדיוק מה שהשוק העולה "גילה" לנו.

ומה עם ההסתברות של המודל עצמו?

זוכרים את ⁦N(d2)⁩ - ההסתברות האמיתית שהמודל נותן, זו שהדלתא רק קרובה אליה? חישבנו אותה לכל אחת מהאופציות, מתוך המחיר שבו היא נמכרה.

בדלתא 20:

• לפוט, המודל נתן הסתברות של 22.2% לפקוע בתוך הכסף. בפועל: 8.5%.
• לקול, המודל נתן הסתברות של 18.9%. בפועל: 34.0%.

שימו לב לכיוון. לפי המודל, הפוט יותר מסוכן מהדלתא שלו, והקול פחות מסוכן. המציאות הלכה בדיוק הפוך - הפוט נבדק הרבה פחות, והקול הרבה יותר.

המשמעות: הבעיה היא לא שהדלתא "קירוב גס" של המודל. הפער בין הדלתא למודל הוא 1-2 נקודות אחוז. הפער בין המודל למציאות הוא 14-15 נקודות אחוז. וזה שוב אותו הסבר: המודל מתמחר עולם בלי כיוון, והשוק האמיתי עלה.

למה הפוטים יקרים יותר, ולמה זה חשוב כאן

יש עוד מושג אחד שעוזר להבין את התמונה: תנודתיות גלומה (Implied Volatility). זה המספר שאומר כמה השוק "מצפה" שהמדד יזוז - וככל שהוא גבוה יותר, האופציה יקרה יותר.

בשוק האופציות, הפוטים הרחוקים תמיד מתומחרים עם תנודתיות גבוהה יותר מהקולים הרחוקים. לתופעה הזו קוראים סקיו, והיא נובעת מכך שמשקיעים מוכנים לשלם הרבה כדי להגן על עצמם מפני נפילה.

בנתונים שלנו, בדלתא 10:

• הפוטים תומחרו כאילו המדד יזוז 23.1% בשנה.
• הקולים תומחרו כאילו המדד יזוז רק 12.0% בשנה.
• המדד זז בפועל, באותם חלונות של 45 יום, 14.5% בשנה.

כלומר הפוטים תומחרו לשוק הרבה יותר סוער ממה שהיה, והקולים לשוק רגוע יותר ממה שהיה. בגלל זה גם אותה דלתא נמצאת במרחקים שונים: בממוצע, פוט בדלתא 20 ישב 5.28% מתחת למחיר המדד, וקול בדלתא 20 רק 4.01% מעליו. הקול פשוט היה קרוב יותר - עוד סיבה שהוא נבדק יותר.

דוגמה אמיתית: עסקה אחת, צעד אחר צעד

21 ביולי 2026, בבוקר. מדד S&P 500 עומד על 7,471 נקודות. בוחרים פקיעה ב-4 בספטמבר, בעוד 45 יום.

שלב 1 - מה נמכר:

(הסכומים הם לחוזה אחד. חוזה על המדד שווה פי 100 מהמחיר שמופיע במסך: פוט שמחירו 60.15 דולר מכניס 6,015 דולר.)

שלב 2 - מה קרה: ב-4 בספטמבר המדד נסגר על 7,718.60. עלייה של 3.3% - חודש וחצי רגיל לגמרי.

שלב 3 - מה יצא מכל אחת:

• פוט בדלתא 20 (7,100): המדד נשאר הרבה מעל. מחוץ לכסף - כל 6,015 הדולרים נשארו.
• קול בדלתא 20 (7,775): המדד נעצר 56 נקודות מתחת. מחוץ לכסף - כל 3,585 הדולרים נשארו. אבל היה קרוב.
• פוט בדלתא 50 (7,510): המדד מעל. מחוץ לכסף - כל 15,725 הדולרים נשארו.
• קול בדלתא 50 (7,510): המדד 208.60 נקודות מעל מחיר המימוש. בתוך הכסף. האופציה שווה בפקיעה 20,860 דולר, וקיבלנו עליה רק 14,765. הפסד של 6,095 דולר.

שימו לב: לא קרה כאן שום דבר מיוחד. עלייה של 3.3% ב-45 יום היא דבר שגרתי למדד הזה. וזה בדיוק סוג החלון שחזר על עצמו שוב ושוב - ובכל פעם הקולים שילמו.

אז למה לא פשוט למכור רק פוטים? כי הם לא חינם

לפני שמסיקים ש"פוט בדלתא 20 הוא בעצם סיכון של 8%", צריך להבין את הצד השני.

כשפוט כן נבדק, זה יכול לכאוב מאוד.

18 בפברואר 2020. המדד עומד על 3,372 נקודות. נמכר פוט בדלתא 20 במחיר מימוש 3,215, וקיבלנו עליו 2,270 דולר.

אחר כך הגיעה הקורונה. ב-3 באפריל, יום הפקיעה, המדד נסגר על 2,488 - 726 נקודות מתחת למחיר המימוש.

ההפסד: 70,365 דולר. פי 31 מהסכום שקיבלנו.

וזה לא מקרה בודד. בפוט בדלתא 10, רק 21 מתוך 694 עסקאות פקעו בתוך הכסף - כ-3%. נשמע מצוין. אבל:

• עסקה מרוויחה הרוויחה בממוצע 1,599 דולר.
• עסקה מפסידה הפסידה בממוצע 19,524 דולר.

הפסד אחד מחק בממוצע את הרווח של 12 עסקאות טובות. ושבע מתוך 21 העסקאות המפסידות הגיעו באותה שנה - 2020.

המסקנה: הפוט "נבדק" לעתים רחוקות, אבל כשזה קורה, זה קורה בבת אחת, להרבה עסקאות יחד, ובסכומים גדולים.

ומה קורה כשהשוק לא עולה?

אם ההסבר נכון, אז בשנה שבה השוק יורד התמונה אמורה להתהפך. וזה בדיוק מה שקרה ב-2022, שנה שבה המדד ירד לאורך רוב הדרך:

• פוטים בדלתא 20 פקעו בתוך הכסף ב-20.8% מהפעמים (לעומת 8.5% על פני כל התקופה).
• קולים בדלתא 20 פקעו בתוך הכסף רק ב-11.3% מהפעמים (לעומת 34.0% על פני כל התקופה).

זו השנה היחידה בנתונים שבה הקולים נבדקו פחות מהפוטים - בכל חמש הדלתאות. הטעות של הדלתא הולכת אחרי כיוון השוק.

מה לקחת מכל זה

1. דלתא היא לא "הסיכוי שלי להפסיד". היא הערכה טובה לשאלה כמה רחוק השוק עלול לזוז. היא לא יודעת לאיזה כיוון.

2. בשוק עולה, דלתא 20 בפוט ודלתא 20 בקול הן לא אותו סיכון. בשנים שבדקנו, הקול נבדק פי 4 יותר מהפוט.

3. "כמה פעמים זה נבדק" זה רק חצי מהסיפור. החצי השני הוא כמה זה עולה כשזה קורה. הפוט נבדק מעט, אבל ההפסד הבודד שלו גדול בהרבה.

4. הכסף הלך אחרי הטעות. בכל חמש הדלתאות, מכירת פוט הרוויחה ומכירת קול הפסידה. בדלתא 20: מכירת פוט הרוויחה 54 דולר על כל 100 דולר שנגבו, ומכירת קול הפסידה 29 דולר על כל 100 דולר שנגבו.

מה הנתונים לא אומרים

העבר לא מבטיח את העתיד. 13 השנים האלה היו שוק עולה חזק. אם השנים הבאות ייראו אחרת, התמונה יכולה להשתנות - ו-2022 הראתה כמה מהר זה יכול לקרות.

העסקאות לא עצמאיות זו מזו. נכנסנו כמעט כל שבוע לעסקה של 45 יום, אז בכל רגע היו פתוחות 6-7 עסקאות יחד. כשהשוק נופל, כולן נפגעות באותו זמן. לכן 694 עסקאות הן פחות "ניסויים נפרדים" ממה שהמספר נשמע.

זה מדד אחד, בלי ניהול. מניות בודדות, טווחי זמן אחרים, או כללים כמו "לסגור ברווח של 50%" - כל אלה יכולים לתת תוצאה אחרת.

אלה מכירות חשופות, בלי הגנה. מכירת פוט או קול בלי אופציה נוספת שמגבילה את ההפסד היא פעולה בסיכון גבוה מאוד, ובקול ההפסד התאורטי אינו מוגבל בכלל. המאמר מסביר מה הנתונים הראו - הוא לא ממליץ לעשות אף אחת מהפעולות.

מילון קצר

• פוט - אופציה שמתייקרת כשהמחיר יורד. מי שמוכר פוט מרוויח כשהמחיר נשאר מעל מחיר המימוש.
• קול - אופציה שמתייקרת כשהמחיר עולה. מי שמוכר קול מרוויח כשהמחיר נשאר מתחת למחיר המימוש.
• פרמיה - הכסף שמוכר האופציה מקבל ביום המכירה.
• מחיר מימוש - המחיר שכתוב על האופציה. ממנו היא מתחילה להיות שווה כסף.
• פקיעה - היום שבו האופציה נגמרת.
• בתוך הכסף / מחוץ לכסף - האם ביום הפקיעה המחיר עבר את מחיר המימוש (בתוך) או לא (מחוץ).
• דלתא - מספר בין 0 ל-100 שמתאר כמה האופציה רגישה לתנועה של המחיר. משמש גם כהערכה גסה לסיכוי שהאופציה תפקע בתוך הכסף.
• מודל Black-Scholes - הנוסחה שמחשבת מחיר הוגן לאופציה ואת הדלתא שלה. כמעט כל מסך מסחר משתמש בה.
• ⁦N(d1)⁩ ו-⁦N(d2)⁩ - שני מספרים מתוך הנוסחה. הראשון הוא הדלתא של קול, והשני הוא ההסתברות שהקול יפקע בתוך הכסף לפי המודל.
• תנודתיות גלומה - כמה השוק מצפה שהמחיר יזוז, לפי מחירי האופציות. ככל שהיא גבוהה יותר, האופציה יקרה יותר.
• סקיו - התופעה שבה פוטים רחוקים מתומחרים עם תנודתיות גבוהה יותר מקולים רחוקים, ולכן הם יקרים יותר.